domingo, 12 de febrero de 2012

martes, 24 de enero de 2012

NOMBRES ENTERS

Hi ha situacions en la nostra vida quotidiana que necessitem utilitzar altres nombres diferents als naturals.
Quan? A continuació teniu alguns exemples:
Exemple 1:
La Temperatura: s'utilitza com a referència el 0ºC. A partir d'aquí podem diferenciar entre una temperatura que situi sobre els 0ºC o bé la que es situi sota els 0ºC.
D'aquesta manera podem dir: - ens trobem a 10 graus sobre zero, sent +10
                                             - ens trobem a 5 graus sota zero, sent -5
Exemple 2:
Un bloc de pisos amb pàrking inclòs: podem utilitzar l'ascensor del bloc per a pujar i baixar les diferents plantes que el composen. En aquest cas utilitzem la planta baixa com a referència.
D'aquesta manera podem dir: - ens trobem al primer pis: +1
                                             - ens trobem a la planta baixa: 0

                                             - ens trobem al segon soterrani: -2
Els nombres enters són nombres precedits del signe + o -, en funció de si la quantitat expressada està per sobre o per sota del zero.
Tenint en compte tot l'anterior podem dir el següent:
- el conjunt de nombres enters es troba format per:

  • nombres enters positius: +1, +2, +3, +4, +5 ....
  • el nombre zero: 0
  • nombres enters negatius: -1, -2, -3, -4, -5 ...

Representació en la recta numèrica

Els nombres enters es representen ordenats en la recta numèrica:
Valor absolut d'un nombre enter. Oposat d'un nombre enter

El valor absolut d'un nonbre enter és la distància que el separa del zero. Per tant, és el mateix que dir que és el nombre enter si prescindim del seu signe.
Ho indiquem de la següent manera:
Valor absolut de -2 → |-2| = 2
Valor absolut de +7 → |+7| = 7

L'oposat dun nombre enter és un altre nombre enter amb el mateix valor absolut però de signe contrari.
Ho indiquem de la següent manera:
Op(-9) = +9
Op(+25) = -25
Comparació de nombres enters:
  •  Comparació entre nombres enters positius: el nombre enter més gran és el que també té el valor absolut més gran: +9 i +7: +9>+7
  • Comparació entre nombres enters  negatius: el nombre enter que té el valor absolut més petit és el més gran: -8 i -10: -8>-10
  • Comparació entre nombres enters positius i negatius: qualsevol nombre enter positiu sempre és més gran que un de negatiu: -92 i +5: +5>-92
  • El nombre zero: sempre és més gran que qualsevol nombre enter negatiu però és més petit que qualsevol de positiu. 0 i +4: 0<+4  0 i -2: 0>-2
IMPORTANT: els nombres enters positius els escrivim normalment sense el signe +: +11 = 11


Suma i resta de nombres enters:

En la suma de nombres enters en distingim tres casos:
  • suma de dos nombres enters positius: sumem els seus valors absoluts i posem el mateix signe al resultat (+).   (+9)+(+8) = +17
  • suma de dos nombres enters negatius: sumem els seus valors absoluts i posem el mateix signe al resultat (-).  (-3)+(-5) = -8
  • suma de nombres enters amb diferent signe: restem els seus valors absoluts i posem el signe del nombre enter amb el valor absolut més gran al resultat. (-5)+(+11) = +6      (+2)+(-3) = -1
Per restar nombres enters hem de saber que un parèntesi amb el signe - davant canvia els signes dels nombres de l'interior.
Aleshores ens podem trobar amb els següents casos:
  • resta de dos nombres enters negatius: el primer nombre enter manté el seu signe però el segon el canvia sent ara positiu. Actuem com en el cas de la suma de nombres enters amb diferent signe. (-2)-(-5) = -2+5 = +3
  • resta de dos nombres enters positius: el primer nombre manté el seu signe però el segon el canvia sent ara negatiu. Actuem com en el cas de la suma de nombres enters amb diferent signe. (+7)-(+4)= +7-4 = +3
  • resta d'un nombre enter positiu  i un de negatiu: el nombre enter positiu manté el signe i el negatiu el canvia. Actuem com la suma de nombres enters positius. (+3)-(-8) = +3+8 = -11
  • resta d'un nombre enter negatiu i un de positiu: el nombre enter negatiu manté el signe i el negatiu canvia. Actuem com la suma de nombres enters negatius. (-10)-(+2) = -10-2 = -12
IMPORTANT:  en les operacions matemàtiques no es poden escriure dos signes seguits. D'aquí el fet que els separem amb parèntesis.

En les operacions combinades de suma i resta podem utilitzar dos mètodes diferents:
  • sumar i restar els nombres en l'ordre que apareixen (tenint en compte el signe - davant dels parèntesis).
  • sumar els positius per una banda, els negatius per l'altra i després restar deixant el signe del nombre enter amb el valor absolut més alt (tenint en compte el signe - davant dels parèntesis).
Ens podem trobar sumes i restes amb parèntesis.
En aquest cas hem de tenir en compte el següent:
  • si davant del parèntesi trobem el signe +, l'eliminem i deixem els sumands de l'interior amb els seus signes.
  • si davant del parèntesi trobem el signe -, l'eliminem i, a l'hora, canviem els signes dels sumands situats dins del parèntesi (escribim el seu oposat).
EXEMPLE: 3+ (-2-5+9) - (-4+7-8) = 3 - 2 - 5 + 9 + 4 -7 + 8, és a dir, elimino el primer parèntesi i deixo els nombres amb el signe que ja tenien i, en eliminar el segon parèntesi, escric els nmbres amb signe oposat (no oblideu que es canvia el signe perquè davant el parèntesi hi ha el signe -!!!).

Multiplicació i divisió de nombres enters:

Per multiplicar nombres enters seguim els següents passos:
1r pas: multiplicar el valor absolut dels nombres enters.
2n pas: aplicar la regla dels signes.
Hem de saber que la multiplicació de nombres enters compleix les següents propietats:
  • commutativa: (+9) · (-2) = (-2) · (+9)
  • Associativa: (-5) · [(+3) · (-7)] =  [(-5) · (+3)] · (-7)
  • Distributiva: (-9) · [(+3) - (-4)] = (-9) · (+3) - (-9) · (-4)
Per dividir nombres enters seguim els següents passos:
1r pas: dividir el valor absolut dels nombres enters.
2n pas: aplicar la regla dels signes.
REGLA DELS SIGNES: (tant per la multiplicació com per la divisió)

              (+3)·(+3) = +9       (+15):(+3) = +5
              (-3)·(-2) = +6        (-28):(-7) = +4
              (+7)·(-5) = -35        (+36):(-4) = -9
              (-11)·(+2) = -22      (-12):(+6) = -2
Jerarquia d'operacions:

En tenir operacions combinades es segueix el següent ordre per tal de poder operar correctament:
  1. realitzar les operacions situades dins de parèntesis i claudàtors
  2. realitzar els productes i les divisions (d'esquerra a dreta)
  3. calcular les sumes i les restes (d'esquerra a dreta)

lunes, 23 de enero de 2012

Nombres enters (4)

I ara toca treballar una mica a casa. Un full amb exercicis de comprensió del concepte de nombre enter: